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本文將介紹R中可用于投資組合優(yōu)化的不同求解器。

通用求解器

通用求解器可以處理任意的非線性優(yōu)化問題，但代價可能是收斂速度慢。

默認包

包stats（默認安裝的基本R包）提供了幾個通用的優(yōu)化程序。

optimize()。用于區(qū)間內的一維無約束函數(shù)優(yōu)化（對于一維求根，使用uniroot()）。

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optim()通用優(yōu)化，有六種不同的優(yōu)化方法。

Nelder-Mead：相對穩(wěn)健的方法（默認），不需要導數(shù)。

CG：適用于高維無約束問題的低內存優(yōu)化

BFGS：簡單的無約束的準牛頓方法

L-BFGS-B：用于邊界約束問題的優(yōu)化

SANN: 模擬退火法

Brent: 用于一維問題（實際上是調用optimize()）。

這個例子做了一個最小二乘法擬合：最小化

下一個例子說明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函數(shù)：

，梯度

，無約束最小化問題

optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

下面的例子使用了界約束。

最小化

約束：

這個例子使用模擬退火法（用于全局優(yōu)化）。

constrOptim()。使用自適應約束算法，在線性不等式約束下最小化一個函數(shù)（調用optim()）。

nlm(): 這個函數(shù)使用牛頓式算法進行目標函數(shù)的最小化。

nlminb(): 進行無界約束優(yōu)化。.

optim

基礎函數(shù)optim()作為許多其他求解器的包，可以方便地使用和比較。

全局優(yōu)化

全局優(yōu)化與局部優(yōu)化的理念完全不同（全局優(yōu)化求解器通常被稱為隨機求解器，試圖避免局部最優(yōu)點）。

特定類別問題的求解器

如果要解決的問題屬于某一類問題，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用該類問題的專用求解器會更好。

最小二乘法 (LS)

線性最小二乘法（LS）問題是將最小化，可能有界或線性約束。

線性規(guī)劃(LP)

函數(shù)solveLP()，可以方便地解決以下形式的LP：

最小化：

約束：

混合整數(shù)線性規(guī)劃 (MILP)

lpSolve（比linprog快得多，因為它是用C語言編碼的）可以解決線性混合整數(shù)問題（可能帶有一些整數(shù)約束的LP）。

solution

二次規(guī)劃 (QP)

可以方便地解決以下形式的QP

解決具有絕對值約束和目標函數(shù)中的絕對值的二次規(guī)劃。

二階錐規(guī)劃 (SOCP)

有幾個包:

ECOSolveR提供了一個與嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，這是一個著名的、高效的、穩(wěn)健的C語言庫，用于解決凸問題。

CLSOCP提供了一個用于解決SOCP問題的一步平滑牛頓方法的實現(xiàn)。

優(yōu)化基礎

我們已經看到了兩個包，它們是許多其他求解器的包。

用于凸問題、MIP和非凸問題

ROI包為處理R中的優(yōu)化問題提供了一個框架。它使用面向對象的方法來定義和解決R中的各種優(yōu)化任務，這些任務可以來自不同的問題類別（例如，線性、二次、非線性規(guī)劃問題）。

LP – 考慮 LP:

最大化:

約束：

MILP – 考慮先前的LP，并通過添加約束條件x2,x3∈Z使其成為一個MILP.

BLP – 考慮二元線性規(guī)劃 (BLP):

最小化：

約束：

SOCP – 考慮SOCP:

最大化:

約束:

并注意到SOC約束 可以寫成或 ，在代碼中實現(xiàn)為：。

SDP--考慮SDP:

最小化：

約束：

并注意SDP約束可以寫成（大小為3是因為在我們的問題中，矩陣為2×2，但vech()提取了3個獨立變量，因為矩陣是對稱的）。

NLP – 考慮非線性規(guī)劃(NLP)

最大化

約束

凸優(yōu)化

R為凸優(yōu)化提供了一種面向對象的建模語言。它允許用戶用自然的數(shù)學語法來制定凸優(yōu)化問題，而不是大多數(shù)求解器所要求的限制性標準形式。通過使用具有已知數(shù)學特性的函數(shù)庫，結合常數(shù)、變量和參數(shù)來指定目標和約束條件集。現(xiàn)在讓我們看看幾個例子。

最小二乘法 – 讓我們從一個簡單的LS例子開始：最小化

當然，我們可以使用R的基礎線性模型擬合函數(shù)lm()。

用CVXR來做

我們現(xiàn)在可以很容易地添加一個限制條件來解決非負的LS。

穩(wěn)健的Huber回歸 - 讓我們考慮穩(wěn)健回歸的簡單例子：

最小化

其中

彈性網正則化 - 我們現(xiàn)在要解決的問題是：最小化

稀疏逆協(xié)方差矩陣--考慮矩陣值的凸問題：最大化，條件是

協(xié)方差--考慮矩陣值的凸問題：在的條件下，最大化。

投資組合優(yōu)化--考慮馬科維茨投資組合設計：最大化，

結論

R語言中可用的求解器的數(shù)量很多。建議采取以下步驟。

如果是凸優(yōu)化問題，那么開始進行初步測試。

如果速度不夠快，使用ROI。

如果仍然需要更快的速度，那么如果問題屬于定義好的類別之一，則使用該類別專用的求解器（例如，對于LP，推薦使用lpSolve，對于QP則使用quadprog）。

然而，如果問題不屬于任何類別，那么就必須使用非線性優(yōu)化的一般求解器。在這個意義上，如果一個局部的解決方案就夠了，那么可以用許多求解器的包。如果需要全局求解器，那么軟件包gloptim是一個不錯的選擇，它是許多全局求解器的包。

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